[BOJ] 2098번 외판원 순회

문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

예제

// 입력
4
0 10 15 20
5  0  9 10
6 13  0 12
8  8  9  0

// 출력
35

코드

// cpp 17
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int N;
int weights[17][17], memo[20][1 << 17];

int tsp(int node, int mask)
{
	// 모두 다 순회했다면 첫번째 원소로 돌아오는지 확인한다.
	if (mask == ((1 << N) - 1))
	{
		if (weights[node][1] != 0)
			return weights[node][1];
	}

	int& ret = memo[node][mask];
	if (ret != 0)
		return ret;
	ret = 987654321;

	// 모든 노드를 순회하면서, 최소 경로를 찾는다.
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		if (!(mask & (1 << (i - 1))) && weights[node][i])
			ret = min(ret, weights[node][i] + tsp(i, mask | (1 << (i - 1))));
	}

	return ret;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cout.tie(nullptr);

	cin >> N;
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= N; j++)
			cin >> weights[i][j];
	}

	// 최소 순환 경로가 존재한다면 시작 지점을 아무데나 해도 사이클이 생기기 때문에 무관하다.
	// 편의성을 위해 1번부터 시작한다.
	cout << tsp(1, 1);
}